Пульсирует зуб и опухает десна, что это может быть?

Все, что Вы описали точно подходит по диагноз периодонтит. Дотронуться невозможно, и ощущение, что зуб вырос ― это все оттого, что на верхушке воспаление, и поэтому происходит опухание десны и выдвижение зуба.

Вам надо срочно удалять зуб, чтобы воспаление не распространилось на соседние зубы. Не тяните, обезболивающее не поможет, от него только потом будет дольше заживать ранка после удаления.